Pages

"MOMOK di Sekolah????" ( MATEMATIKA)

jumpa lagi dengan posting posting yang semoga bisa membantu saudara saudara semua dalam menimba ilmu. Yach, kali ini, saya mau posting tentang Pelajaran yang di anggap para siswa sebagai momok di sekolah. tapi sebenarnya pelajaran ini sangat menarik dan menantang untuk dipahami. pasti semua murid udah pada tau pelajaran apa yang saya maksud. yah,,, MATEMATIKA. Matematika memang
bukanlah hal yang mudah untuk diselesaikan,tapi kalo kita mau berusaha dan mau berlatih keras, pasti kita akan bisa menyelesaikan masalah masalah yang ada di soal matematika.
kali ini, kita akan mempelajari tentang matematika Kelas 10 . Di semester 1, kita menjumpai:
a. Bentuk Pangkat
b. Bentuk Akar
c. Bentuk Logaritma
d. Persamaan Kuadrat
e. Sistem Persamaan Linier Dan Kuadrat.


A. BENTUK PANGKAT.

27, angka 2 disebut sebagai basis dan angka 7 disebut sebagai pangkat atau eksponen.

* sifat - sifat bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif *

Misalkan a, b,ϵ R dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m ≥ n, maka:
1. am x an = am+n
2. am : an = am-n
3.(am)n = am.n
4. (a x b )n = an x bn
5. (a/b)n = an / bn, b ≠ 0

* Pangkat Bulat Negatif dan Nol *
Definisi
Jika a bilangan real dan a ≠ 0 maka a0 = 1
Jika a ϵ R, a ≠ 0 dan n bilangan bulat negatif maka a-n = 1/an

contoh: (2-1)-1 = (1/1/2) 1 = 21 = 2.

B. BENTUK AKAR
Kita akan memperluas operasi perpangkatan,sehingga berlaku untuk pangkat perpecahan atau yang biasa disebut dengan Bilangan Irrasional.
Miasalkan a dan b bilangan real, n bilangan bulat positif dan antara a, b dan n terdapat hubungan bn = a. bilangan b dinamakan akar pangkat n dari a.

Sifat Perkalian Akar
Untuk a dan b bilangan real positif berlaku
n√axb = n√a x n√b , b = pnq

@ Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar @
Untuk a, b ϵ R dan c ϵ himpunan bilangan rasional non-negatif berlaku:
1. a√c + b√c = (a + b ) √c
2. a√c - b√c = (a - b ) √c

@ Operasi perkalian pada bentuk akar @
Untuk a, b ϵ himpunan bilangan rasioanl non-negatif berlaku :
√a x √b = √axb
@ Operasi pembagian pada akar @
Untuk a, b ϵ himpunan bilangan rasional non-negatif, b ≠ 0, berlaku:
√a / √b = √a/b

C. BENTUK LOGARITMA

Secara umum, jika basisnya a maka alog y = x ekuivalen dengan ax = y
alog y = x => ax = y.
1. Logaritma hanya didefinisikan untuk a > 0 dan a ≠ 1.
2. Untuk setiap a> 0, bilangan berpangka ax>0, maka y > 0. karena ruas kiri dan kanan ekuivalen maka disimpulkan bahwa alog y terdefinisi jika y > 0
Logaritma dengan basis 10 cukup dituliskan log y, tanpa perlu menuliskan basisnya. jadi, jika log y = x maka 10x = y.

Sifat sifat yang ada pada LOGARITMA yang biasa kita temui:

Misalkan a, x, y, z, p > 0, a ≠ 1, berlaku
a. alog 1 = 0
b. alog a = 1
c. alog ax = x
d. alog (xy) = alog x + alog y
e. alog x/y = alog x - alog y
f. alog xn = n.alog x
g. alog x = palog x / alog a = 1/ alog a
h. alog x X xlog y = alog y
i. amlog x = 1 / m alog x.

D. PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
ax2 + bx + c = 0, dengan a,b,c ϵ R dan a ≠ 0.
x disebut peubah atau variabel
a disebut koefisien x2
b disebut koefisien x
c disebut konstanta (suku tetap)

Menyelesaikan persamaan Kuadrat
menyelesaiakan persamaan kuadrat berarti mencari nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat.

Akar akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan 3 cara yaitu:
1. Faktorisasi
dalammenyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, kita menggunakan sifat perkalian berikut:
Jika ab = 0, maka a = 0 atau b = 0
Penerapannya adalah dengan memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c = 0, menjadi (ax + n)(x + m) = 0, lalu menyelesaikan bentuk terakhir menggunakan sifat perkalian.
ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
® x1 = - p/a dan x2 = - q/a
dengan p.q = a.c dan p + q = b

2. Melengkapkan bentuk kuadrat
persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
(x + p)² = q² ® x + p = ± q
x1 = q - p dan x2 = - q - p

3. Rumus ABC
ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± √(b²-4ac)]/2a

bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
sehingga X1,2 = (-b ± √D)/2a

Kemungkinan akar akar dari persamaan tersebut bila ditinjau dariNilai DISKRIMINAN.
1. D > 0

x1 = (-b+√D)/2a ; x2 = (-b-√D)/2a

PK mempunyai dua akar nyata berbeda

2. D = 0

x1 = x2 = -b/2a

PK mempunyai dua akar nyata yang sama

3. D < 0 Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata. syarat akar nyata/ada/riil : D ³ 0 Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2²
= (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)

2. X1³ + X2³
= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)

3. X14 + X24
= (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²

4. X1²X2 + X1X2²
= X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)

5. 1/X1 + 1/X2
= (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c

6. X1/X2 + X2/X1
= (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2

7. (X1-X2)²
= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [√D/a]² = D/a²


8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(√D/a)

Bedakan Istilah
Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)

dengan

Kuadrat Jumlah (X1+X2)²


PEMBENTUKAN PERSAMAAN KUADRAT
KEDUA AKARNYA KUADRAT

Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0

2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI


Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui

Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0
Hubungan beraturan (hal khusus)

E. FUNGSI KUADRAT
Pada umumnya grafik suatu fungsi kuadrat y = ax² + bx + c akan tertentu jika diketahui 3 titik yang dilaluinya. Hal khusus jika melalui titik puncak, cukup diketahui melalui 2 titik saja.
Ket:
Dengan mensubstitusi titik-titik yang dilalui dan menyelesaikan persamaannya maka nilai a, b dan c yang dibutuhkan dapat dicari, sehingga fungsi kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan.
Garis Lurus dan Parabola

Misalkan :
Garis lurus : y = mx + n ...(1)
Parabola : y = ax² + bx + c ... (2)

Koordinat titik potong garis lurus dan parabola di atas merupakan nilai x dan y yang memenuhi persamaan (1) dan (2).

Didapat : mx + n = ax² + bx + c
ax² + (b - m)x + ( c - n ) = 0 ® merupakan Persamaan Kuadrat dalam x.


KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN

Untuk menentukan koefisien arah garis singgung (gradien) di titik (x1,y1) pada grafik y = f (x)

m= f'(x1)

f'(x1) berarti nilai turunan f(x) pada titik dengan absis x = x1

Persamaan garis singgung y - f(x1) = f '(x1) (x - x1)

Ada dua persamaan garis singgung

Bila titiknya tidak terletak pada parabola, maka gradiennya dimisalkan dengan m dan persamaan garisnya : y - y1 = m (x - x1 ) disinggungkan dengan parabola y = aX² + bx + c dengan syarat D = 0

E. SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Eksplisit

SPLK Eksplisit
Bentuk umum SPLK eksplisit ditulis sebagai berikut:
dengan a, b, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLK Eksplisit adalah sebagai berikut:

Substitusikan persamaan linear y = ax + b ke persamaan kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh
ax + b = px2 + qx + r
px2 + (q - a)x + (r - b) = 0, dengan menggunakan pemfaktoran atau rumus ABC diperoleh nilai-nilai x (jika ada).

Nilai-nilai x yang didapat dari langkah (1) disubtitusikan ke persamaan y = ax + b sehingga diperoleh nilai y. Pasangan nilai (x, y) merupakan himpunan penyelesaian SPLK.

Banyak anggota himpunan penyelesaian pada persamaan kuadrat px2 + (q - a)x + (r - b) = 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diskriminan yang dinotasikan dengan D, dimana D = b2 - 4ac.
Diskriminan dari px2 + (q - a)x + (r - b) = 0 adalah D = (q - a)2 - 4p(r - b).
Jika D > 0 maka SPLK mempunyai dua anggota himpunan penyelesaian.
Jika D = 0 maka SPLK mempunyai satu anggota himpunan penyelesaian.
Jika D < 0 maka SPLK tidak mempunyai anggota himpunan penyelesaian. Pasangan nilai (x, y) yang merupakan himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan secara Geometri sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px2 + qx + r. Kedudukan garis terhadap parabola dapat ditentukan dengan nilai diskriminan D = (q- a)2 - 4p(r - b). Jika D > 0 maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan.
Jika D = 0 maka garis memotong parabola tepat di satu titik atau dikatakan garis menyinggung parabola
Jika D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y).
Contoh: (1) x = 5y + 20 (3) y = x2 +2x - 15
(2) y = 4x - 8 (4) x = y2 + 8y +12

Suatu persamaan dua variabel x dan y dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)
Contoh: (1) x2 + y2 + 25 = 0 (3) x2 - 6xy + y2 + 8y = 0
(2) x2 + y2 - 4x + 6y = 0 (4) x2 + 2xy + y2 - 10y + 9 = 0

Bentuk umum SPLK implisit ditulis sebagai berikut:


Dengan a, b, c, d, e, f, p, q, r merupakan bilangan-bilangan real.


A. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Tidak Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang tidak difaktorkan adalah sebagai berikut.

Pada persamaan linear px + qy + r = 0, nyatakan x dalam y atau y dalam x.
Substitusikan x atau y dari persamaan linear ke persamaan kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.
Selesaikan persamaan kuadrat dari langkah (2) sehingga diperoleh nilai x atau y, kemudian substitusikan nilai x atau y ke persamaan linear.

B. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan

Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.

Ubah persamaan ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)2 - s2 = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh
mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0
Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.

Nah,, itulah sekilas tentang materi yang ada di kelas 10 semester 1. semoga dapat berguna bagi anda yang membaca, dan tak mnganggap MATEMATIKA sebagai MOMOK dalam sekolah lagi,,, HANSAMNIDA,, ^_^..
There was an error in this gadget

Free SMS

sobat blogger ga ada pulsa? mau sms gratis via internet? 100 % free lo kawan. BUKTIIN !!

Me

My Photo
safita nurmalyya
bukan dari keluarga lebih, tak punya tampang lebih dan tak punya semua yang lebih. dengan ketidak lebihan itu berjuang menjadi lebih. Hope somedays be an army and scientist..
View my complete profile

Followers

Jejak Si Pemurah Hati

Powered by Blogger.